●课 题
§6.4.2 不等式的解法举例(二)
●教学目标
(一)教学知识点
1.分式不等式的解法.
2.简单的高次不等式解法.
(二)能力训练要求
1.能熟练地将分式不等式转化为整式不等式(组).正确地求出分式不等式的解集.
2.会用列表法,进一步用数轴标根法求解分式及高次不等式.
(三)德育渗透目标
1.进一步提高学生的运算能力和思维能力.
2.培养学生分析问题和解决问题的能力.
3.强化学生应用转化的数学思想和分类讨论的数学思想.
●教学重点
分式不等式与简单的高次不等式如何根据实数运算的符号法则,把它们转化为与其等价的两个或更多个不等式(组)(由表示成的各因式的符号所有可能的组合决定),于是原不等式的解集就是各个不等式组的解集的并集.同时注意分式不等式的同解变形有如下几种:
解简单的高次不等式一般有两种思路,即转化法和数轴标根法.其中转化法就是运用实数乘法的运算性质,把高次不等式转化为低次的不等式组.数轴标根法的基本思路是:整理(分解)——标根——画线——选解.
●教学难点
分式不等式与简单的高次不等式在转化为一次或二次不等式组时,每一步变形,都应是不等式的等价变形.在等价变形时,要注意什么时候取交集,什么时候取并集.带等号的分式不等式,要注意分母不能为零.由于各个不等式组的解集是本组各不等式解集的交集,计算较繁,且容易出错,一定要使同学们细心.另外,在取交集、并集时,可以借助数轴的直观效果,这样可避免出错.
●教学方法
讲练结合法
通过讲解强化训练题目,加深对分式不等式及简单高次不等式解法的理解,提高分析问题和解决问题的能力.针对不同类型的不等式,使学生能灵活有效地进行等价变形.
●教具准备
幻灯片一张
记作§6.4.2 A
●教学过程
Ⅰ.课题导入
上节课,我们巩固学习了一元二次不等式的解法,知道了一元二次不等式的解集与相对应的一元二次方程的解和二次函数的图象有着密切的关系.如果一个二次方程ax2+bx+c=0有两个根x1<x2,则x1、x2就把实数(x轴)分成了三部分.要解ax2+bx+c>0,就要找这三部分中的x所对应的y值大于0的部分(注:其中y=ax2+bx+c);同样,解ax2+bx+c<0,就是要求这三部分中的x所对应的y值小于0的部分,利用这种思想(实质上就是数轴标根法),我们在学习转化法解高次不等式和分式不等式的基础上来继续研究简单的高次不等式和分式不等式的解法.
Ⅱ.讲授新课
(一)简单的高次不等式
[例1]解不等式(x-1)(x+2)(x-3)>0.
分析:根据实数运算的符号法则,结合不等式的结构特点,若原不等式成立,则左边三个因式或全正,或二负一正.
解法一:转化法.
据题知,原不等式的解集等价于下面四个不等式组的解集的并集,即
故原不等式的解集是{x|-2<x<1或x>3}.
[师生共析]显然,此方法太麻烦了,由于不等式的解集与相应的方程的根有关系,因此可求其根并由相应的函数值的符号表示出来即可求出不等式的解集.看下面的解法.
解法二:列表法
令(x-1)(x+2)(x-3)=0,解得x分别为-2,1,3
则x轴被分为(-∞,-2)、(-2,1)、(1,3)、(3,+∞)四部分.
分析这四部分中原式左边各因式的符号,列出下表:
符号 x
因式 | (-∞,-2) | (-2,1) | (1,3) | (3,+∞) |
x+2 | - | + | + | + |
x-1 | - | - | + | + |
x-3 | - | - | - | + |
(x+2)(x-1)(x-3) | - | + | - | + |
由上表可知:原不等式的解集为{x|-2<x<1或x>3}.
[师生共析]列表法解不等式需分情况进行讨论,然后得出结果.请同学们用列表法解不等式:
x(x-3)(2-x)(x+1)>0
[生]解:原不等式可化为:
x(x-3)(x-2)(x+1)<0 ①
∴对应方程x(x-3)(x-2)(x+1)=0的根分别为-1,0,2,3,它们把实数(x轴)分为(-∞,-1)、(-1,0)、(0,2)、(2,3)、(3,+∞)五部分.
分析这五部分中不等式①左边各因式的符号,列表如下:
符号 x
因式 | (-∞,-1) | (-1,0) | (0,2) | (2,3) | (3,+∞) |
x+1 | - | + | + | + | + |
x | - | - | + | + | + |
x-2 | - | - | - | + | + |
x-3 | - | - | - | - | + |
x(x-3)(x-2)(x+1) | + | - | + | - | + |
由上表可知:
原不等式的解集为{x|-1<x<0,或2<x<3}.
(师生共同归纳列表法解不等式的步骤,仅供学有余力的同学参考)
列表法解不等式的步骤是:
1.整理 把不等式化为f(x)>0(或<0)的形式.为便于计算,看出规律,解不等式之前把各因式中x的符号化“+”.
2.求根 令f(x)=0,求出各根,不妨称之为分界点,一个分界点,把实数(数轴)分成两部分,两个分界点把实数分成三部分,……,几个分界点,把实数分成(n+1)部分.
3.列表 按各根把实数分成的几部分,由小到大横向排列,相应各因式纵向排列(由对应较小根的因式开始依次自上而下排列).讨论各区间内各因式符号,最下面是乘积符号.
4.写出解集 根据所列表格,写出满足题目要求的不等式的解集(你会发现符号的规律吗?)
(打出幻灯片§6.4.2 A,阅读内容,在教师指导下让学生知道“数轴标根法”解高次不等式的理由来自一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的解和二次函数图象的密切关系.并通过具体训练使同学们掌握其具体解法.)
解法三:数轴标根法
根据目标不等式可知:方程(x-1)(x+2)(x-3)=0的根为-2,1,3,这些根把数轴分为4个区间,如图所示:
故原不等式的解集为{x|-2<x<1或x>3}.
[师生共析]熟练掌握“数轴标根法”解不等式,对于提高运算能力,提高解题效率大有帮助,应予以重视.
(二)分式不等式
1.由分式方程的定义不难联想到:分母中含有未知数的不等式称为分式不等式.
2.分式不等式解法
由不等式性质容易看出:不等式左右两边同乘以正数,不等号方向不变,不等式两边同乘以负数,不等号方向要改变,分母中有x,两边同乘以一个含x的式子,它的正负不知,无从解起,若讨论分母的正负,再解也可以但复杂多了.因此,解分式不等式,切忌去分母.
解不等式②,得解集{x|-1<x<3}.
因此,不等式组(Ⅰ)的解集是
{x|x<1或x>2}∩{x|-1<x<3}
={x|-1<x<1或2<x<3}.
这个不等式组的解集可以在数轴上表示如下:
再解不等式组(Ⅱ).
解不等式③,得解集{x|1<x<2};
解不等式④,得解集{x|x<-1或x>3}.
因此,不等式组(Ⅱ)的解集是(数轴表示如下).
故原不等式的解集为{x|-1<x<1或2<x<3}.
[师生共析]显然,解法二比解法一解不等式高效、快捷.这就告诉我们,正确运用“数轴标根法”解不等式(尤其是简单的高次不等式或可转化为高次不等式的分式不等式)要予以高度重视.
分式不等式的解法:先将不等式左右两边中所有的非零项都移到不等式的左边,并整理为下列某种形式,然后转化为整式不等式(组),灵活选择方法进行求解.
Ⅲ.课堂练习
解下列不等式:
Ⅳ.课时小结
本节举例说明三类不等式的解法.
绝对值符号内是二次式的绝对值不等式的解法.其根据如前所述,|x|<a(a>0)-a<x<a;|x|>a(a>0) x<-a,或x>a.
2.高次不等式的解法
(1)降次化作不等式组求解
(2)数轴标根法求解
3.分式不等式的解法
(2)数轴标根法求解
这三类不等式的解法突出了转化方法.转化方向是把高次不等式转化为低次不等式;分式不等式转化为整式不等式.通过深入理解不等式解法,领悟转化方法的精神实质和基本步骤,能灵活地解决不等式问题.
Ⅴ.课后作业
(一)课本P19习题6.4 3
(二)1.预习内容:课本P20 §6.5 含有绝对值的不等式.
2.预习提纲:
(1)理解定理:|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|
(2)理解推论1,推论2(课本P20)
(3)如何证明含绝对值的不等式.
(4)利用绝对值不等式的重要性质可解决哪些问题.
建议:不等式解法举例加一节习题课,因为这部分内容是解其他不等式及应用的基础.
●板书设计
§6.4.2 不等式的解法举例(二) 一、高次不等式的解法 例题 1.降次化作不等式组求解. 2.数轴标根法. 课堂练习 例题 二、分式不等式的解法 课时小结 1.转化法(分式转化为整式). 2.数轴标根法 课后作业 |